Pojetí přístupu orientovaného na žáka ve vyučování matematice

Motto: Každou další hodinou učit lépe.

6. Výuková lekce

V tomto odstavci popíšeme, o jaký matematický poznatek se jedná v první lekci a jak proběhl jeho poznávací proces u žáků. Považujeme to za důležité pro uvědomění, proč lekce trvala 2 vyučovací hodiny, když stejný poznatek může učitel “vysvětlit” za pár minut a pak věnovat čas procvičování. Mnohokrát jsme se již setkali s reakcemi typu: “Za tu dobu bych to žákům vysvětlil/a a vyřešili bychom nejméně 10 dalších úloh.”

6.1 Oslava začátku školního roku

V této lekci probíhá poznávací proces kombinačního čísla C(2, n) jako vazby mezi počtem osob, které si ťukají skleničkami na oslavu (n), a počtem ťuknutí, která jsou realizována vždy dvojicí žáků.
Poznávací proces je zahájen motivací, kterou učitel zajistil vložením matematiky do atraktivního reálného kontextu se silným sociálním nábojem. Úlohy tak žáci mohou řešit reálným prožitkem, skutečným ťukáním lahví na pití. Reálný prožitek zajistí, že paměťová stopa dané zkušenosti je mnohem hlubší a trvalejší, než je při naučení se nějakého postupu, vzorečku.
Dále učitel volí gradovanou sérii úloh, kde postupná gradace úloh umožní vyvodit matematický vztah. Tato metoda se nazývá metoda uvolňování parametru. Nejdříve si ťuknou 2 osoby, pak 3, 4, 5, … a vždy se eviduje počet ťuknutí. Gradačním parametrem je tedy počet účastníků při ťukání skleničkami. S volbou počtu účastníků úzce souvisí možnost využití vhodné řešitelské strategie.
Na první úrovni je strategie konkrétní sehrávka a zjišťování počtu ťuknutí evidencí jevů. Žáci tak vlastním prožitkem uchopují situaci a řešení úlohy spočívá v evidenci jevů (svými smysly). Sehrávka je situace procesuální a pomíjivá, to znamená, že se odehrává v čase a po sehrávce mizí její evidence. Když má pak žák o řešení několika úloh diskutovat, musí je uložit do krátkodobé paměti. To vyvolá brzy potřebu si dělat o jednotlivých evidencích, řešeních záznam.
Strategie na druhé úrovni je simulace reálné sehrávky manipulací s nějakými objekty.

Z toho, že někteří žáci upřednostňují úlohy manipulativní a jiní zase úlohy pohybové, je patrné, že efektivní je takový přístup, kdy učitel využívá různých prostředí, která zprostředkují tok zkušeností žáků různými percepčními kanály. To je známý fakt.
Další úrovní je grafická vizualizace situace. Nalezením instrumentu, jak graficky vyjádřit ťuknutí a celé sehrané situace, se posouvá poznávací proces hledaného vztahu na zobecněnou úroveň poznání. Obvykle grafický model situace již má zástupnou roli a reprezentuje několik sehraných situací. Již není tolik důležité, kolik osob se účastní ťukání. Zároveň tento instrument umožní řešit další situace s větším počtem ťukajících osob a získat větší počet dat. Jedná se již o model vizuální, statický. To dává příležitost dalším kognitivním typům žáků situaci uchopit. Samo o sobě je nalezení instrumentu, jak graficky vyjádřit reálnou procesuální situaci, pro mnoho žáků velkým objevem.
Žáci získali mnoho dílčích výsledků, mnoho dat, a je nyní potřeba je zorganizovat tak, aby z údajů bylo možné něco vyčíst. Silným nástrojem organizace je tabulka, do které se evidují číselné údaje o počtu osob a počtu ťuknutí. Tabulku může učitel žákům nabídnout. Jestliže ji ale některý žák navrhne sám, zaslouží si to ocenění. Když žáci do tabulky napíší aspoň 3-4 údaje, mohou si všimnout pravidelnosti v přírůstcích řady čísel. Někteří žáci si všimnou pravidelnosti dříve a dokáží ji popsat, někteří potřebují vyplnit více okének v tabulce. V řadě čísel v tabulce (3, 6, 10, 15, …) pak lze pokračovat libovolně dlouho. Známe žáky, kteří ve velkém nadšení vyplnili 50 okének tabulky. Jiní se snažili proces vypisování dat do tabulky zkrátit a popsat zákonitost, která řídí danou řadu čísel tak, aby uměli rychle najít počet ťuknutí skleniček, když někdo zadá nějaký (libovolný) počet. Vzniká tedy potřeba uchopit jev “jakékoliv” číslo. Tuto potřebu někteří žáci naplňují volbou nějakého znaku, např. p.o. jako zkratka pro počet osob, nebo ikona panáčka, nebo jenom o.
Potřeba formulovat vztah pro libovolný počet osob vyjádřený pomocí znaku vede k odhalení abstraktního poznatku. Od formulace slovy, jinými znaky je již jen malý krůček k zavedení písmene n, který může udělat i učitel sdělením: “Matematici zde používají písmeno n.” Tímto krokem, změnou jazyka čísel do jazyka písmen, došlo k náročnému kognitivnímu zdvihu, a sice k abstrakci. Pomocí písmene (n) je pak formulován abstraktní poznatek (T(n) = (n⋅(n-1)/2)).
Tato úroveň poznání nemusí být přístupná v daném okamžiku pro každého žáka. Důležitější než nalezení algebraicky popsaného vztahu, neboli v našem případě kombinačního čísla C (2, n), je prožitý proces objevování. Ten se žákům vybaví, až budou řešit obdobný problém. Při velkém mentálním rozpětí žáků jedné věkově stejné skupiny ani není možné, aby všichni žáci byli v jednom okamžiku ve stejné etapě poznávacího procesu. Učitel zde musí být trpělivý a dalším obdobným bádáním dopřát žákům dojít v poznávacím procesu co nejdále.
Kvalita této výukové lekce je založena na propojení matematického obsahu s promyšlenou implementací úlohy. Učitel věnuje hodně pozornosti

a) organizaci a řízení třídy, čímž zajišťuje maximální využití času, tempo řešení úlohy přiměřené  každému žákovi a strukturovanost celého řešitelského procesu od nastartování motivace k řešení po vzájemné hodnocení a sebehodnocení. V každém okamžiku je zřejmé, co se odehrává a co bude následovat.

b) zprostředkování cílů, a to jak obsahových (sběr a evidence dat, jejich vhodná organizace s cílem možnosti odhalení vazby, zobecnění jistého počtu konkrétních případů a případně vytvoření matematického modelu, tedy vytvoření abstraktního modelu vazby mezi počtem ťuknutí a počtem osob), tak sociálních (budete pracovat jako tým, výsledky budete prezentovat, hodnotit svůj proces řešení, hodnotit výsledky a jejich prezentaci u spolužáků).

Uvedenou úlohu řešili žáci 4. ročníku při jedné naší návštěvě jedné základní školy. Otázka byla formulována vzhledem k počtu žáků ve třídě – Kolik ťuknutí se ozve, když si budou ťukat 2, 3, 4, …., 15, 16 žáků. Žáci používali lahve na pití, které měli s sebou, a až do počtu 7 účastníků ťukání měli velký problém zjistit počet ťuknutí, za kterým by si stáli. Opakovaně zkoušeli, opakovaně vycházely různé výsledky. Vždy, když přibrali dalšího žáka, zopakovali celý proces i s chybami. Nakonec jeden žák přišel s nápadem, jak zorganizovat proces ťukání, aby si nikdo s nikým nepřiťukl dvakrát a aby nikdo nebyl vynechán. Nápadem byli všichni tak nadšeni, že až do konce, tedy do čísla 16, používali tuto řešitelskou strategii. Radost z tohoto objevu i ze sociálního zážitku potlačila potřebu hledat vazby, hledat efektivnější způsob řešení. Pouze jediný žák, který se zapojil do akce jako poslední a který si řešil úlohu samostatně, řekl, že výsledek bude „16 krát 15 děleno 2“. Všichni ostatní ale měli potřebu jeho výsledek ověřit a znovu zopakovali proces ťukání. Vidíme, že objevení organizačního principu, jak spolehlivě získávat data, je pro 10-11leté žáky výzvou, a jeho objev vyvolá u žáků radost.
Samozřejmě, že řešení jedné úlohy trvalo celou hodinu. Domníváme se, že zkušenosti, které si žáci z hodiny odnesli, a hlavně radost z procesu řešení, mají silnější dopad na rozvoj jejich matematického myšlení, než kdyby celou hodinu dosazovali do vzorce a řešili jednu úlohu na procvičení nějakého vztahu za druhou.
Je vidět, že tato úloha má velký potenciál z hlediska gradování. Mohou ji řešit i žáci 1. ročníku, avšak v gradaci postoupí jen do čísla 3 nebo 4. Úlohu mohou řešit gymnazisté, kteří ji budou řešit asi již obecně s výsledkem T(n) = n⋅(n-1) : 2, kde n je počet účastníků a T(n) je počet ťuknutí, nebo již budou vědět, že se jedná o kombinace druhé třídy z n prvků.
Dále uvedeme jen některé jevy, které silně zazněly v dalších lekcích.

6.2 Další lekce

Lekce Úvod do procent přináší jako velice silný jev mimo jiné práci s gradovanými úlohami, ukazuje efektivní nástroj kontroly výsledků žáků, který buduje u žáků zodpovědnost za své řešení a povzbuzuje tak intelektuální sebevědomí žáka. Dalším výrazným jevem je sebehodnocení, které přispívá efektivitě učení se.
Trojdílná lekce Průzkum a grafy I, II, III přibližuje badatelsky orientovanou výuku.